Minggu, 12 Juni 2011

Sejarah Matematika Adalah Diriku

Siapa yang tidak kenal matematika, sebuah bidang ilmu yang luas karena selalu dipakai sehari-hari dan menjadi rujukan bagi hampir semua bidang ilmu lainnya. Perjalanan keilmuan matematika sudah sedemikian panjang dan lengkap. Perkembangan ini tidak berhenti namun terus berlanjut seiring dengan perkembangan ilmu-ilmu lainnya. Implementasi matematika semakin luas dan terbuka. Tak ada salahnya kita mengingat sebagian tokoh yang membangun keilmuan matematika.
Pada saat kita lahir dengan kondisi yang baru saja mengenal dunia dan belum tahu apa yang akan terjadi, sama halnya dengan lahirnya peristiwa sejarah matematika yang baru mulai ditemukannya suatu rumus matematika oleh para matematikawan dengan kondisi yang belum sempurna, karena masih berupa rumus yang sederhana yang perlu untuk dikembangkan lagi. Perkembangan sejarah matematika sama halnya dengan saat kita mengalami pertumbuhan dimana kita menjadi seorang yang berkualitas dengan bertahap dalam mencapai kesuksesan. Pada saat ini, kita masih berada di titik pertengahan dan belum mencapai puncak yaitu kesuksesan sehingga kita masih harus melanjutkan perjalanan lagi untuk meraih kesuksesan tersebut sama halnya dengan sejarah matematika yaitu pada suatu masa tertentu meskipun suatu rumus sudah kelihatan akurat tapi masih perlu untuk dikembangkan lagi. Dan pada akhirnya, suatu saat nanti kita akan memperoleh kesuksesan begitu pula dengan sejarah matematika yang pada akhirnya akan menghasilkan suatu rumus, teorema, dan lain sebagainya yang paling akurat. Untuk itu, sejarah matematika sama pentingnya dengan diriku. Hidup ini penuh dengan suatu peristiwa sejarah dan sejarah matematika ada dalam perjalanan hidupku dari lahir sampai saat ini dan seterusnya akan tetap melekat dalam diriku.
Kini, matematika digunakan di seluruh dunia sebagai alat penting di berbagai bidang, termasuk ilmu pengetahuan alam, rekayasa, medis, dan ilmu pengetahuan sosial seperti ekonomi, dan psikologi. Matematika terapan, cabang matematika yang melingkupi penerapan pengetahuan matematika ke bidang-bidang lain, mengilhami dan membuat penggunaan temuan-temuan matematika baru, dan kadang-kadang mengarah pada pengembangan disiplin-disiplin ilmu yang sepenuhnya baru. Para matematikawan juga bergulat di dalam matematika murni, atau matematika untuk perkembangan matematika itu sendiri, tanpa adanya penerapan di dalam pikiran, meskipun penerapan praktis yang menjadi latar munculnya matematika murni ternyata seringkali ditemukan terkemudian.
Secara umum, semakin kompleks suatu gejala, semakin kompleks pula alat (dalam hal ini jenis matematika) yang melalui berbagai perumusan (model matematikanya) diharapkan mampu untuk mendapatkan atau sekadar mendekati penyelesaian eksak seakurat-akuratnya. Jadi, tingkat kesulitan suatu jenis atau cabang matematika bukan disebabkan oleh jenis atau cabang matematika itu sendiri, melainkan disebabkan oleh sulit dan kompleksnya gejala yang penyelesaiannya diusahakan dicari atau didekati oleh perumusan (model matematikanya) dengan menggunakan jenis atau cabang matematika tersebut. Sebaliknya berbagai gejala fisika yang mudah diamati, misalnya jumlah penduduk di seluruh Indonesia, tidak memerlukan jenis atau cabang matematika yang canggih. Kemampuan aritmetika sudah cukup untuk mencari penyelesaian (jumlah penduduk) dengan keakuratan yang cukup tinggi.
Terdapat perselisihan tentang apakah objek-objek matematika hadir secara objektif di alam menurut kemurnian logikanya, atau apakah objek-objek itu buatan manusia dan terpisah dari kenyataan. Seorang matematikawan benjamin Peirce menyebut matematika sebagai "ilmu yang menggambarkan simpulan-simpulan yang penting". Albert Einstein, di pihak lain, menyatakan bahwa "sejauh hukum-hukum matematika merujuk kepada kenyataan, mereka tidaklah pasti; dan sejauh mereka pasti, mereka tidak merujuk kepada kenyataan."
Mengerti dan mendeskripsikan perubahan pada kuantitas yang dapat dihitung adalah suatu yang biasa dalam ilmu pengetahuan alam, dan kalkulus dibangun sebagai alat untuk tujauan tersebut. Konsep utama yang digunakan untuk menjelaskan perubahan variabel adalah fungsi. Banyak permasalahan yang berujung secara alamiah kepada hubungan antara kuantitas dan laju perubahannya, dan metoda untuk memecahkan masalah ini adalah topik dari persamaan differensial. Untuk merepresentasikan kuantitas yang kontinu digunakanlah bilangan riil, dan studi mendetail dari sifat-sifatnya dan sifat fungsi nilai riil dikenal sebagai analisis riil. Untuk beberapa alasan, amat tepat untuk menyamaratakan bilangan kompleks yang dipelajari dalam analisis kompleks. Analisis fungsional memfokuskan perhatian pada (secara khas dimensi tak terbatas) ruang fungsi, meletakkan dasar untuk mekanika kuantum di antara banyak hal lainnya. Banyak fenomena di alam bisa dideskripsikan dengan sistem dinamis dan teori chaos menghadapi fakta yang banyak dari sistem-sistem itu belum memperlihatkan jalan ketentuan yang tak dapat diperkirakan.
Mereka yang berminat kepada matematika seringkali menjumpai suatu aspek estetika tertentu di banyak matematika. Banyak matematikawan berbicara tentang keanggunan matematika, estetika yang tersirat, dan keindahan dari dalamnya. Kesederhanaan dan keumumannya dihargai. Terdapat keindahan di dalam kesederhanaan dan keanggunan bukti yang diberikan, semisal bukti Euclid yakni bahwa terdapat tak-terhingga banyaknya bilangan prima, dan di dalam metode numerik yang anggun bahwa perhitungan laju, yakni transformasi Fourier cepat. G. H. Hardy di dalam A Mathematician's Apology mengungkapkan keyakinan bahwa penganggapan estetika ini, di dalamnya sendiri, cukup untuk mendukung pengkajian matematika murni. Para matematikawan sering bekerja keras menemukan bukti teorema yang anggun secara khusus, pencarian Paul Erdős sering berkutat pada sejenis pencarian akar dari "Alkitab" di mana Tuhan telah menuliskan bukti-bukti kesukaannya. Kepopularan matematika rekreasi adalah isyarat lain bahwa kegembiraan banyak dijumpai ketika seseorang mampu memecahkan soal-soal matematika.

TIMELINE HISTORY OF MATH

Asal mula pemikiran matematika terletak di dalam konsep bilangan, besaran, dan bangun. Pengkajian modern terhadap fosil binatang menunjukkan bahwa konsep ini tidak berlaku unik bagi manusia. Konsep ini mungkin juga menjadi bagian sehari-hari di dalam kawanan pemburu. Bahwa konsep bilangan berkembang tahap demi tahap seiring waktu adalah bukti di beberapa bahasa zaman kini mengawetkan perbedaan antara "satu", "dua", dan "banyak", tetapi bilangan yang lebih dari dua tidaklah demikian.
Benda matematika tertua yang sudah diketahui adalah tulang Lebombo, ditemukan di pegunungan Lebombo di Swaziland dan mungkin berasal dari tahun 35000 SM. Tulang ini berisi 29 torehan yang berbeda yang sengaja digoreskan pada tulang fibula baboon. Terdapat bukti bahwa kaum perempuan biasa menghitung untuk mengingat siklus haid mereka; 28 sampai 30 goresan pada tulang atau batu, diikuti dengan tanda yang berbeda. Juga artefak prasejarah ditemukan di Afrika dan Perancis, dari tahun 35.000 SM dan berumur 20.000 tahun, menunjukkan upaya dini untuk menghitung waktu.
Tulang Ishango, ditemukan di dekat batang air Sungai Nil (timur laut Kongo), berisi sederetan tanda lidi yang digoreskan di tiga lajur memanjang pada tulang itu. Tafsiran umum adalah bahwa tulang Ishango menunjukkan peragaan terkuno yang sudah diketahui tentang barisan bilangan prima atau kalender lunar enam bulan. Periode Predinastik Mesir dari milenium ke-5 SM, secara grafis menampilkan rancangan-rancangan geometris. Telah diakui bahwa bangunan megalit di Inggris dan Skotlandia, dari milenium ke-3 SM, menggabungkan gagasan-gagasan geometri seperti lingkaran, elips, dan tripel Pythagoras di dalam rancangan mereka.

BILANGAN
Bilangan adalah suatu konsep matematika yang digunakan untuk pencacahan dan pengukuran. Simbol ataupun lambang yang digunakan untuk mewakili suatu bilangan disebut sebagai angka atau lambang bilangan. Dalam matematika, konsep bilangan selama bertahun-tahun lamanya telah diperluas untuk meliputi bilangan nol, bilangan negatif, bilangan rasional, bilangan irasional, dan bilangan kompleks. Prosedur-prosedur tertentu yang mengambil bilangan sebagai masukan dan menghasil bilangan lainnya sebagai keluran, disebut sebagai operasi numeris. Operasi uner mengambil satu masukan bilangan dan menghasilkan satu keluaran bilangan. Operasi yang lebih umumnya ditemukan adalah operasi biner, yang mengambil dua bilangan sebagai masukan dan menghasilkan satu bilangan sebagai keluaran. Contoh operasi biner adalah penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, dan perpangkatan. Bidang matematika yang mengkaji operasi numeris disebut sebagai aritmetika.
Matematika berawal dari berhitung, namun bukan berarti bahwa pada awalnya matematika adalah berhitung. Di babylonia matematika berkembang sejak 2000 tahun SM. Sebelumnya system bilangan berkembang selama beberapa periode dengan bilangan berbasis 60, system ini mampu menampilkan bilangan yang besar dan bilangan pecahan dan terbukti menjadi dasar pengembangan bilangan matematika,dengan orde yang lebih tinggi. Persoalan bilangan seperti persamaan segitiga Pythagoras (a,b,c)yaitu a^2+b^2=c^2 dipelajari sejak tahun 1700 SM, system persamaan linear dipelajari dalam konteks penyelesaian persoalan bilangan. Persamaan kuadrat juga dipelajari dan contoh-contoh ini mengarah pada suatu jenis aljabar bilangan. Persoalan geometri yang terkait dengan bilangan juga dipelajari pada saat mencari area, dan volume, dan juga untuk memperoleh nilai phi.


TEOREMA PYTHAGORAS
Dalam matematika, teorema Pythagoras adalah suatu keterkaitan dalam geometri Euklides antara tiga sisi sebuah segitiga siku-siku. Teorema ini dinamakan menurut nama filsuf dan matematikawan Yunani abad ke-6 SM, Pythagoras. Pythagoras sering dianggap sebagai penemu teorema ini meskipun sebenarnya fakta-fakta teorema ini sudah diketahui oleh matematikawan India (dalam Sulbasutra Baudhayana dan Katyayana), Yunani, Tionghoa dan Babilonia jauh sebelum Pythagoras lahir. Pythagoras mendapat kredit karena ialah yang pertama membuktikan kebenaran universal dari teorema ini melalui pembuktian matematis.
Ada dua bukti kontemporer yang bisa dianggap sebagai catatan tertua mengenai teorema Pythagoras: satu dapat ditemukan dalam Chou Pei Suan Ching (sekitar 500-200 SM), satunya lagi dalam buku Elemen Euklides.
Teorema Pythagoras menyatakan bahwa:
Jumlah luas bujur sangkar pada kaki sebuah segitiga siku-siku sama dengan luas bujur sangkar di hipotenus.
Sebuah segitiga siku-siku adalah segitiga yang mempunyai sebuah sudut siku-siku; kaki-nya adalah dua sisi yang membentuk sudut siku-siku tersebut, dan hipotenus adalah sisi ketiga yang berhadapan dengan sudut siku-siku tersebut. Pada gambar di bawah ini, a dan b adalah kaki segitiga siku-siku dan c adalah hipotenus:

Pythagoras menyatakan teorema ini dalam gaya goemetris, sebagai pernyataan tentang luas bujur sangkar: Jumlah luas bujur sangkar biru dan merah sama dengan luas bujur sangkar ungu. Akan halnya, Sulbasutra India juga menyatakan bahwa: Tali yang direntangkan sepanjang panjang diagonal sebuah persegi panjang akan menghasilkan luas yang dihasilkan sisi vertikal dan horisontalnya. Menggunakan aljabar, kita dapat mengformulasikan ulang teorema tersebut ke dalam pernyataan modern dengan mengambil catatan bahwa luas sebuah bujur sangkar adalah pangkat dua dari panjang sisinya:
Jika sebuah segitiga siku-siku mempunyai kaki dengan panjang a dan b dan hipotenus dengan panjang c, maka a2 + b2 = c2.




Dari gambar . Dan dengan mengganti persamaan (1) dan (2):

Mengalikan untuk c:


GEOMETRI
Geometri (dari bahasa Yunani γεωμετρία; geo = bumi, metria = pengukuran) secara harafiah berarti pengukuran tentang bumi, adalah cabang dari matematika yang mempelajari hubungan di dalam ruang. Dari pengalaman, atau mungkin secara intuitif, orang dapat mengetahui ruang dari ciri dasarnya, yang diistilahkan sebagai aksioma dalam geometri.

Catatan paling awal mengenai geometri dapat ditelusuri hingga ke zaman Mesir kuno, peradaban Lembah Sungai Indus dan Babilonia. Peradaban-peradaban ini diketahui memiliki keahlian dalam drainase rawa, irigasi, pengendalian banjir dan pendirian bangunan-bagunan besar. Kebanyakan geometri Mesir kuno dan Babilonia terbatas hanya pada perhitungan panjang segmen-segmen garis, luas, dan volume.
Salah satu teori awal mengenai geometri dikatakan oleh Plato dalam dialog Timaeus {360SM) bahwa alam semesta terdiri dari 4 elemen: tanah, air, udara dan api. Hal tersebut tersebut dimaksud untuk menggambarkan kondisi material padat, cair, gas dan plasma. Hal ini mendasari bentuk-bentuk geometri: tetrahedron, kubus(hexahedron), octahedron, dan icosahedron dimana masing-masing bentuk tersebut menggambarkan elemen api, tanah, udara dan air. Bentuk-bentuk ini yang lalu lebih dikenal dengan nama Platonic Solid. Ada penambahan bentuk kelima yaitu Dodecahedron, yang menurut Aristoteles untuk menggambarkan elemen kelima yaitu ether.
Euclides : Ahli Matematika Yunani
Euclides atau (±300 sM ) adalah ahli matematika Yunani, guru, penyusun buku pelajaran yang terbesar sepanjang abad. Euclides dikenal juga sebagai Euclid atau Euclid of Alexandria. Bukunya yang berjudul "Stoicheia" (unsur) tentang geometri (ilmu ukur) jadi buku pelajaran yang di pakai di sekolah menengah di seluruh dunia selama 20 abad lebih. Buku itu terdiri dari 13 jilid. Jilid 1 tentang konstruksi sederhana ilmu ukur sampai Dalil Pythagoras. Jilid II tentang aljabar yang di konstruksikan secara ilmu ukur. Jilid III dan IV tentang lingkaran. Jilid V-VI tentang perbandingan sampi deret ukur. Jilid VIII dan IX tentang teori bilangan. Jilid X tentang perbandingan lagi. Jilid XI - XIII tentang ilmu ukur ruang.

Ia juga mengarang buku-buku lain yang berjudul Data, Phaenomena, Optika, Unsur Musik, Pembagian Bentuk, Porisme (3 jilid), Pseudoria, Katoptrika, Irisan Kerucut (4 jilid). Tapi buku-buku tersebut sudah musnah.Kita tahu dari laporan orang lain, misalnya laporan Proclus, ahli filsafat Yuanai, yang menulis tentang Euclides kira-kira 700 tahun sesudah Euclides meninggal. Kapan dan dimana Euclides lahir, tak ada orang yang tahu. Kapan dan dimana Euclides meningal, juga tak ada orang yang tahu. Meskipun demikian, di bidang geometri Euclides adalah orang yang paling berpengaruh di dunia. Maka tak mengherankan kalau ia sering mendapat julukan geometri. Yang jelas ia hidup pada zaman Ptolemaeus l (305-285 sM.), raja Mesir bekas jenderal kesayangan Alexander Agung. Ptolemaeus l membuat kota Alexandria jadi ibu kota. Jadi pusat perdagangan dan pusat ilmu pengetahuan. Ptolemaeus l juga membuat perpustakaan yang terbesar di dunia pada zaman itu. Perpustakaan itu menyimpan 700.000 gulung naskah kuno. Euclides adalah orang pertama di dunia yang mendirikan sekolah matematika di Alexandria. Menurut Proclus pada suatu hari Ptolemaeus l ingin sekali belajar geometri dan Euclides. Ia mengundang Euclides ke istananya dan mulai mendengarkan pelajaran geometri dari Euclides. Tapi kemudian Ptolemaeus merasa bahwa geometri terlalu sulit dan terlalu lama untuk dimengerti. Maka ia minta agar pelajaran dipercepat. Euclides menjawab, “Bagi raja pun tak ada jalan pintas ke geometri!”
Geometri Euklides adalah sebuah geometri klasik, terdiri atas 5 postulat, yang dinisbahkan terhadap matematikawan Yunani Kuno Euklides. Geometri Euklides merupakan sistem aksiomatik, di mana semua teorema ("pernyataan yang benar") diturunkan dari bilangan aksioma yang terbatas. Mendekati buku awalnya Elemen, Euklid memberikan 5 postulat:
Setiap 2 titik dapat digabungkan oleh 1 garis lurus.
Setiap garis lurus dapat diperpanjang sampai tak terhingga dengan garis lurus.
Diberikan setiap segmen garis lurus, sebuah lingkaran dapat digambar memiliki segmen ini sebagai jari-jari dan 1 titik ujung sebagai pusat.
Semua sudut di kanan itu kongruen.
Postulat paralel. Jika 2 garis bertemu di sepertiga jalan di mana jumlah sudut dalam di 1 sisi kurang dari 2 sudut yang di kanan, kedua garis itu harus bertemu satu sama lain di sisi itu jika diperpanjang lebih jauh lagi.
Postulat yang ke-5 membuka jalan bagi geometri yang sama seperti pernyataan berikut, dikenal sebagai aksioma Playfair, yang terjadi di bidang datar:
"Melalui sebuah titik yang bukan pada garis lurus yang diberikan, hanya satu garis saja yang dapat ditarik dan tak pernah bertemu garis yang diberikan."
Geometri Euclidean, dinamai Euclid matematikawan Yunani, termasuk beberapa dari matematika tertua, geometri non-Euclidean tidak secara luas diterima sebagai sah hingga abad ke-19. Perdebatan yang akhirnya mengarah pada penemuan geometri non-Euclidean dimulai segera setelah pekerjaan Euclid Elements ditulis. Dalam Elemen, Euclid dimulai dengan sejumlah asumsi (23 definisi, lima pengertian umum, dan lima postulat) dan berusaha untuk membuktikan semua hasil lainnya (proposisi) dalam pekerjaan. Yang paling terkenal dari postulat sering disebut sebagai "Postulat Euclid Kelima," atau sekadar "postulat sejajar", yang dalam perumusan asli Euclid adalah:
Jika garis lurus jatuh pada dua garis lurus sedemikian rupa sehingga sudut interior pada sisi yang sama bersama-sama kurang dari dua sudut siku-siku, maka garis-garis lurus, jika diproduksi tanpa batas waktu, bertemu di sisi di mana adalah sudut kurang dari dua sudut kanan. matematikawan lain telah menyusun bentuk yang lebih sederhana dari properti ini (lihat paralel postulat untuk laporan setara). Terlepas dari bentuk dalil, bagaimanapun, secara konsisten tampaknya lebih rumit daripada postulat Euclid lain (yang meliputi, misalnya, "Antara setiap dua titik garis lurus dapat ditarik"). Setidaknya selama seribu tahun, geometri yang terganggu oleh kompleksitas yang berbeda dari postulat kelima, dan diyakini dapat dibuktikan sebagai teorema dari empat lainnya. Banyak berusaha untuk menemukan bukti dengan kontradiksi, termasuk matematikawan Arab Ibn al-Haytham (Alhazen, abad ke-11), matematikawan Persia Omar Khayyām (abad ke-12) dan Nasir al-Din al-Tusi (abad ke-13), dan ahli matematika Italia Giovanni Girolamo Saccheri (abad ke-18).
Teorema Ibn al-Haytham, Khayyam dan al-Tusi pada segiempat, termasuk Lambert segiempat dan Saccheri segiempat, adalah "beberapa teorema pertama dari hiperbolik dan geometri eliptik." Teorema ini bersama dengan postulat alternatif, seperti aksioma Playfair, memainkan peran penting dalam pengembangan selanjutnya dari geometri non-Euclidean. Upaya-upaya awal pada dalil kelima menantang memiliki pengaruh besar terhadap perkembangan di antara geometri kemudian Eropa, termasuk Witelo, Levi ben Gerson, Alfonso, John Wallis dan Saccheri [3] Semua upaya ini dilakukan pada awal mencoba merumuskan non-Euclidean. Namun geometri memberikan bukti cacat dari postulat paralel, yang berisi asumsi yang pada dasarnya setara dengan postulat paralel. Ini upaya awal itu, bagaimanapun, memberikan beberapa sifat awal geometri hiperbolik dan elips.
Khayyam, bagaimanapun, mungkin sedikit dari pengecualian. Tidak seperti banyak komentator Euclid sebelum dan sesudah dia (termasuk Saccheri), Khayyam tidak berusaha untuk membuktikan paralel dalil seperti itu tetapi untuk mendapatkan dari setara sebuah postulat ia merumuskan dari "prinsip-prinsip Bertuah" (Aristoteles): "Dua konvergen garis lurus berpotongan dan tidak mungkin untuk dua garis lurus konvergen menyimpang ke arah di mana mereka berkumpul. "[4] Khayyam kemudian dianggap sebagai tiga kasus yang tepat, tumpul, dan akut yang sudut puncak dari sebuah Saccheri segiempat dapat mengambil dan setelah membuktikan sejumlah teorema tentang mereka, ia benar membantah tumpul dan kasus-kasus akut berdasarkan dalil dan karenanya diturunkan dalil klasik Euclid. pengecualian lain mungkin anak al-Tusi's, Sadr al-Din (kadang-kadang dikenal sebagai "Pseudo-Tusi"), yang menulis sebuah buku tentang subjek pada tahun 1298, berdasarkan pikiran kemudian al-Tusi, yang disajikan salah satu argumen awal untuk setara hipotesis non-Euclidean ke postulat paralel. "Dia pada dasarnya revisi kedua sistem Euclidean aksioma dan dalil-dalil dan bukti-bukti banyak proposisi dari Elemen." [5] [6] Karyanya telah diterbitkan di Roma pada 1594 dan telah dipelajari oleh geometri Eropa, termasuk Saccheri. [5]
Vitale Giordano, dalam bukunya Euclide restituo (1680, 1686), menggunakan Saccheri segiempat untuk membuktikan bahwa jika tiga poin berjarak sama di pangkalan AB dan CD puncak, maka AB dan CD di mana-mana berjarak sama.
Dalam karya berjudul Euclides ab Omni Naevo Vindicatus (Euclid Dibebaskan dari Semua Cacat), yang diterbitkan pada tahun 1733, Saccheri cepat dibuang geometri eliptik sebagai kemungkinan (beberapa orang lain dari aksioma Euclid harus dimodifikasi untuk geometri elips untuk bekerja) dan mulai bekerja membuktikan besar jumlah hasil dalam geometri hiperbolik. Dia akhirnya mencapai titik di mana ia percaya bahwa hasilnya menunjukkan ketidakmungkinan geometri hiperbolik. klaim-Nya tampaknya telah didasarkan pada pengandaian Euclidean, karena tidak ada kontradiksi logis hadir. Dalam upaya untuk membuktikan geometri Euclid dia malah tidak sengaja menemukan geometri yang layak baru. Pada saat ini secara luas percaya bahwa alam semesta bekerja sesuai dengan prinsip-prinsip geometri Euclid. Awal abad ke-19 akan langkah-langkah yang menentukan akhirnya saksi dalam penciptaan geometri non-Euclidean. Sekitar tahun 1830, matematikawan Hongaria János Bolyai dan matematikawan Rusia Nikolai Lobachevsky terpisah diterbitkan risalah pada geometri hiperbolik. Akibatnya, geometri hiperbolik disebut geometri Bolyai-Lobachevskian, baik sebagai matematikawan, independen satu sama lain, adalah penulis dasar dari geometri non-Euclidean. Gauss disebutkan untuk ayah Bolyai, ketika ditampilkan karya Bolyai muda, bahwa ia telah mengembangkan seperti geometri sekitar 20 tahun sebelum, meskipun ia tidak mempublikasikan. Sementara Lobachevsky menciptakan geometri non-Euclidean dengan meniadakan postulat paralel, Bolyai bekerja di luar geometri dimana kedua Euclidean dan geometri hiperbolik yang mungkin tergantung pada parameter k. Bolyai mengakhiri karyanya dengan menyebutkan bahwa tidak mungkin untuk memutuskan melalui penalaran matematis saja jika geometri Euclidean alam semesta fisik atau non-Euclidean, ini adalah tugas untuk ilmu fisik.
Pada 1840-an, Hermann Grassmann menulis sebuah Ph.D. tesis tentang aljabar abstrak dan aljabar eksterior, dimana ia berpendapat bahwa dimensi dari alam semesta fisik belum tentu tiga, tetapi mungkin tak terbatas. Pada 1846 ia berasal koordinat dan kalkulus geometri metrik-gratis, cocok untuk kelas ruang termasuk affine dan proyektif spasi. Sayangnya meskipun pekerjaan Grassmann adalah penting untuk beberapa cabang matematika abad ke-20, sangat jauh di depan dari waktu yang teman-temannya tidak mengerti itu. [7]
Bernhard Riemann, dalam sebuah kuliah yang terkenal pada 1854, menemukan bidang geometri Riemann, khususnya membahas ide-ide sekarang disebut manifold, metrik Riemann, dan kelengkungan. Dia membangun sebuah keluarga tak terbatas geometri non-Euclidean dengan memberikan rumus untuk keluarga metrik Riemann pada bola unit dalam ruang Euclidean. Kadang-kadang ia tidak adil dikreditkan dengan hanya menemukan geometri eliptik, tetapi pada kenyataannya, konstruksi ini menunjukkan bahwa karyanya jauh, dengan teorema nya memegang untuk semua geometri.
Untuk detail lebih lanjut tentang topik ini, lihat Model geometri non-Euclidean. Euclidean geometri yang dimodelkan dengan gagasan kita tentang "bidang datar." Model paling sederhana untuk geometri eliptik adalah bola, di mana garis "lingkaran besar" (seperti khatulistiwa atau meridian di dunia), dan poin saling berlawanan diidentifikasi (dianggap sama). Dalam model elips, untuk setiap garis yang diketahui ℓ dan suatu titik A, yang tidak pada ℓ, semua garis melalui A akan berpotongan ℓ.
Bahkan setelah karya Lobachevsky, Gauss, dan Bolyai, pertanyaan itu tetap: tidak seperti model yang ada untuk geometri hiperbolik? Model untuk geometri hiperbolik dijawab oleh Eugenio Beltrami, pada tahun 1868, yang pertama kali menunjukkan bahwa permukaan yang disebut pseudosphere mempunyai kelengkungan yang sesuai untuk model sebagian ruang hiperbolik, dan dalam kertas kedua di tahun yang sama, pasti model Klein, model Poincaré disk, dan model setengah-plane Poincaré model mana keseluruhan ruang hiperbolik, dan menggunakan ini untuk menunjukkan bahwa geometri Euclid dan geometri hiperbolik adalah equiconsistent, sehingga geometri hiperbolik itu secara logis konsisten jika dan hanya jika geometri Euclidean. (Implikasi sebaliknya mengikuti model horosphere geometri Euclidean.)
Dalam model hiperbolik, dalam pesawat dua dimensi, untuk setiap garis yang diketahui ℓ dan suatu titik A, yang tidak pada ℓ, ada banyak garis tak terbatas melalui A yang tidak berpotongan ℓ.

Geometri Non-Euclid
Setiap ilmu deduktif, geometri khususnya, harus bersandar pada suatu jumlah aksiomatertentu yang tidak perlu dibuktikan. Dalam geometri terdapat tiga aksioma yang paling eksplisit,yaitu:1. Hanya ada satu garis yang dapat melewati dua titik 2. Suatu garis lurus adalah jarak terpendek antara dua titik 3.
Melalui suatu titik hanya satu paralel bisa ditarik ke garis lurus yang diberikan.Pada umumnya, kita membuang untuk membuktikan aksioma kedua. Akan tetapi, bukti aksiomatersebut akan didapat dari menyimpulkan dua aksioma lainnya. Aksioma ketiga dikenal sebagaipostulat Euclid yang bukti aksiomanya sulit dicari meskipun dalam jangka waktu yang lama.Akhirnya, pada awal abad ke-19, dalam waktu yang hampir bersamaan, dua ilmuwan,Lobachevsky dari Rusia dan Bolyai dari Bulgaria berhasil menunjukkan bukti yang tak terbantahkan. Sejak Academi des Sciences hanya menerima sekitar satu atau dua demonstrasi per tahun, Muncullah ilmuwan terkenal Riemann dengan karyanya berjudul Geometrie zum Grundeliegen.
Sebuah geometri non-Euclidean adalah studi tentang bentuk dan konstruksi yang tidak peta langsung ke setiap sistem Euclidean n-dimensi, dicirikan oleh Riemann tensor kelengkungan non-lenyap. Contoh geometri non-Euclidean termasuk geometri hiperbolik dan elips, yang dikontraskan dengan geometri Euclidean. Perbedaan esensial antara Euclid dan geometri non-Euclidean adalah sifat dari garis paralel. postulat kelima Euclid, dalil paralel, setara dengan postulat Playfair, yang menyatakan bahwa, dalam pesawat dua dimensi, untuk setiap garis yang diketahui ℓ dan titik A, yang tidak pada ℓ, ada tepat satu garis melalui A yang tidak tidak berpotongan ℓ. Dalam geometri hiperbolik, sebaliknya, ada banyak garis tak terbatas melalui A ℓ tidak berpotongan, sementara dalam geometri eliptik, setiap garis melalui A memotong ℓ (lihat entri pada geometri hiperbola, geometri eliptik, dan geometri mutlak untuk informasi lebih lanjut).
Cara lain untuk menggambarkan perbedaan antara geometri adalah untuk mempertimbangkan dua garis lurus tanpa batas waktu diperpanjang pada bidang dua dimensi yang kedua tegak lurus ke baris ketiga:
Dalam geometri Euclid baris tetap pada jarak konstan dari satu sama lain bahkan jika diperpanjang hingga tak terbatas, dan dikenal sebagai paralel.
Dalam geometri hiperbolik mereka "kurva jauh" dari satu sama lain, peningkatan jarak sebagai salah satu bergerak lebih jauh dari titik-titik persimpangan dengan tegak lurus umum; garis ini sering disebut ultraparallels.
Dalam geometri eliptik baris "kurva terhadap" satu sama lain dan akhirnya berpotongan.

Konsep non-Euclidean geometri sistem geometryNon-Euclidean berbeda dari geometri Euclid dalam bahwa mereka memodifikasi postulat kelima Euclid, yang juga dikenal sebagai postulat paralel. Secara umum, ada dua bentuk (homogen) geometri non-Euclidean, geometri hiperbolik dan geometri eliptik. Dalam geometri hiperbolik ada garis yang jelas banyak melalui titik tertentu yang tidak akan bersinggungan dengan baris lain yang diberikan. Dalam geometri eliptik tidak ada baris yang tidak akan berpotongan, karena semua yang dimulai terpisah akan berkumpul. Selain itu, geometri eliptik memodifikasi postulat Euclid pertama sehingga dua titik menentukan sedikitnya satu baris. Geometri Riemann berurusan dengan geometri yang tidak homogen, yang berarti bahwa dalam arti tertentu tidak semua poin yang sama. Sebagai contoh, perhatikan permukaan yang dibentuk dengan menempelkan salah satu ujung silinder setengah bola. Kemudian titik pada bola lokal mematuhi geometri eliptik, tetapi titik pada silinder secara lokal mematuhi geometri Euclidean. Bernhard Riemann, bangunan pada karya Gauss, menetapkan metode untuk menggambarkan ruang tersebut. Mendasarkan sistem baru pada asumsi-asumsi, masing-masing dibangun dengan aturan sendiri dan postulat. Non-Euclidean geometri dan geometri eliptik tertentu memainkan peran penting dalam teori relativitas dan geometri ruang-waktu. Konsep diterapkan untuk pesawat non-Euclidean tertentu hanya dapat ditampilkan dalam tiga atau bahkan empat dimensi. Strip Möbius dan botol Klein keduanya adalah obyek satu sisi lengkap, mungkin di pesawat Euclidean. Strip Möbius dapat ditampilkan dalam tiga dimensi, tetapi botol Klein memerlukan empat.
Ruang lingkup geometri non-Euclidean meliputi teori ruang-waktu Herman Minkowski. Ini pengganti geometri bentuk bilinear untuk jarak metrik biasa. Konsep dalam geometri ini mengacu pada sudut hiperbolik daripada sudut Euclidean biasa, misalnya pemetaan bergerak memencet sudut ini seperti halnya sudut bergerak rotasi Euclidean biasa. Alih-alih garis tegak lurus, geometri ruang-waktu menggunakan garis hiperbolik-ortogonal yang menentukan hyperplanes simultanitas. Pondasi dari versi planar ruang-waktu dieksplorasi, menggunakan geometri sintetis, pada tahun 1912 oleh Gilbert N. Lewis dan Edwin B. Wilson di Proceedings of the American Academy of Arts and Sciences 48:387-507. Lihat referensi bagi kutipan, "Synthetic ruang-waktu", termasuk definisi, aksioma 16, 21 teorema, dan berbagai corollaries oleh Lewis dan Wilson. Selanjutnya, geometri hiperbolik muncul dalam relativitas khusus sebagai berikut: kerangka acuan inersia ditentukan oleh kecepatan, dan diberi unit waktu, kecepatan masing-masing sesuai dengan suatu peristiwa di masa depan dari asal yang posisi pengamat dengan kecepatan setelah unit temporal. Peristiwa-peristiwa ini membentuk masa depan hyperboloid, dasar dari model hyperboloid geometri hiperbolik. Herman Minkowski membuat hubungan ini di atas kertas yang terkenal dari 1908.

IRISAN KERUCUT
Dalam matematika, irisan kerucut adalah lokus dari semua titik yang membentuk kurva dua-dimensi, yang terbentuk oleh irisan sebuah kerucut dengan sebuah bidang. Tiga jenis kurva yang dapat terjadi adalah Parabola, Elips, dan hiperbola. Apollonius dari Perga adalah matematikawan Yunani yang pertama mempelajari irisan kerucut secara sistematik pada awal abad ke-2 SM. Dalam memahami geometri irisan kerucut, sebuah kerucut dianggap memiliki dua kulit yang membentang sampai tak berhingga di kedua arah. Sebuah generator adalah sebuah garis yang dapat dibuat pada kulit kerucut, dan semua generator saling berpotongan di satu titik yang disebut verteks kerucut.
Jika sebuah bidang mengiris kerucut sejajar dengan satu dan hanya satu generator, maka irisannya adalah parabola. Jika bidang pengiris sejajar dengan dua generator, maka irisannya akan memotong kedua kulit dan membentuk sebuah hiperbola. Sebuah elips terjadi jika bidang pengiris tidak sejajar dengan generator mana pun. Lingkaran adalah kasus khusus dari elips, yang terbentuk jika bidang pengiris memotong semua generator dan tegak lurus sumbu kerucut.
Kasus-kasus degenerasi terjadi jika bidang-bidang pengiris melalui verteks kerucut. Irisan-irisannya dapat berupa titik, garis lurus, dan dua garis lurus yang saling berpotongan. Sebuah titik terjadi jika bidang pengiris melalui verteks kerucut namun tidak memotong generator mana pun. Kasus ini merupakan elips yang terdegenerasi. Jika bidang pengiris melalui verteks kerucut, dan hanya satu generator, maka yang terjadi adalah sebuah garis lurus, dan merupakan parabola yang terdegenerasi. Sebuah hiperbola terdegenerasi terjadi jika bidang pengiris melalui verteks kerucut dan dua generator sehingga memberikan dua garis lurus yang saling berpotongan.
Secara geometri analitis, irisan kerucut dapat didefinisikan sebagai:
“tempat kedudukan titik-titik pada sebuah bidang, sedemikian, sehingga jarak titik-titik tersebut ke sebuah titik tetap F (yang disebut fokus) memiliki rasio yang konstan terhadap jarak titik-titik tersebut ke sebuah garis tetap L (disebut direktriks) yang tidak mengandung F.”
Rasio yang konstan tersebut disebut eksentrisitas, dilambangkan dengan e, dan merupakan bilangan non-negatif. Untuk e = 0, irisan kerucut tersebut adalah lingkaran, e < 1 sebuah elips, e = 1 sebuah parabola, dan e > 1 sebuah hiperbola.
Dalam koordinat kartesius, grafik dari persamaan kuadrat dengan dua variabel selalu menghasilkan irisan kerucut, dan semua irisan kerucut dapat dihasilkan dengan cara ini.
Jika terdapat persamaan dengan bentuk:
ax2 + 2hxy + by2 + 2gx + 2fy + c = 0
maka:
Jika h2 = ab, persamaan ini menghasilkan parabola.
Jika h2 < ab, persamaan ini menghasilkan elips. Jika h2 > ab, persamaan ini menghasilkan hiperbola.
Jika a = b and h = 0, persamaan ini menghasilkan lingkaran.
Jika a + b = 0, persamaan ini menghasilkan hiperbola persegi.

TEORI HIMPUNAN
Yang pertama kali mengembangkan teori himpunan adalah George Cantor (1845-1918). Oleh sebab itu beliau juga dikenal sebagai bapak teori himpunan. Salah satu penemuannya yang dianggap penemuan yang revolusioner pada zaman itu adalah tentang hierarki himpunan infinit (himpunan tak berhingga). Suatu ilustrasi tentang Argumentasi Diagonal Cantor untuk keberadaan tentang himpunan.Urutan pada dasarnya tidak bisa terjadi di manapun di (dalam) daftar urutan di atas.
Permulaan tentang teori pasti sebagai cabang matematika adalah sering ditandai oleh penerbitan artikel "Ü B Eine Eigenschaft tidak Inbegriffes semua reellen algebraischen Zahlen". Artikel ini adalah yang pertama untuk menyediakan suatu bukti kaku yang ada lebih dari satu macam ketidak terbatasan. Yang sebelumnya, semua koleksi tanpa batas telah secara implisit mengasumsikan untuk menjadi equinumerous ( itu adalah, tentang " ukuran yang sama" atau mempunyai;nikmati yang sama jumlah elements). Cantor membuktikan bahwa koleksi angka-angka riil dan koleksi bilangan bulat positif bukanlah equinumerous. Dengan kata lain, angka-angka yang riil tidaklah dapat dihitung. Bukti nyajadilah lebih kompleks dibanding yang sungguh rapi dan dengan tepat merayakan argumentasi diagonal yang ia menyerah 1891. Artikel Cantor's juga berisi suatu metoda baru yang membangun angka-angka transendental. Angka-Angka transendental yang yang pertama dibangun oleh Joseph Liouville di1844.
Konsep [dari;ttg] teori pasti terintegrasi sepanjang;seluruh kurikulum matematika di (dalam) Amerika Serikat. Fakta dasar tentang menetapkan dan keanggotaan yang di-set adalah sering diajar sekolah dasar, bersama dengan Venn Diagram, Euler diagram, dan operasi dasar seperti persimpangan dan perserikatan/pipa sambung di-set. Lebih mengedepan konsep seperti cardinalas adalah suatu standard bagian dari kurikulum matematika mahasiswa belum bergelar. Teori pasti Biasanya dipekerjakan sebagai foundational sistem untuk matematika, yang terutama sekali dalam wujud Zermelo-Fraenkel yang teori pasti dengan aksioma pilihan. Di luar foundational peran nya, teori pasti adalah suatu cabang matematika dalam kepunyaan benar nya , dengan suatu masyarakat riset aktip. Riset jaman ini ke dalam teori pasti meliputi suatu koleksi topik berbeda, berkisar antara struktur garis nomor jumlah yang riil kepada studi konsistensi utama besar.

STRUKTUR ALJABAR
Istilah "Boolean" aljabar penghargaan George Boole (1815-1864), seorang berpendidikan Inggris. Dia memperkenalkan sistem aljabar awalnya dalam sebuah pamflet kecil, Analisis Logika Matematika, yang diterbitkan pada tahun 1847 dalam menanggapi sebuah kontroversi publik berlangsung antara Augustus De Morgan dan William Hamilton , dan kemudian sebagai buku yang lebih besar, Hukum Pemikiran , diterbitkan dalam 1854. Formulasi Boole berbeda dari yang dijelaskan di atas dalam beberapa hal penting. Sebagai contoh, konjungsi dan disjungsi di Boole tidak sepasang dual operasi. Aljabar Boolean muncul pada 1860-an, dalam makalah yang ditulis oleh William Jevons dan Charles Sanders Peirce. Presentasi sistematis pertama aljabar Boolean dan kisi distributif adalah berutang kepada Vorlesungen 1890 dari Ernst Schröder. Perlakuan ekstensif pertama aljabar Boolean dalam bahasa Inggris adalah AN Whitehead 's 1898 Universal Aljabar. Aljabar Boolean sebagai struktur aljabar aksiomatis dalam pengertian aksioma modern dimulai dengan kertas 1904 oleh Edward Vermilye Huntington. Aljabar Boolean datang dari umur matematika serius dengan karya Marshall Stone di tahun 1930-an, dan dengan Garrett Birkhoff 's 1940 Kisi Teori. Pada tahun 1960, Paul Cohen , Dana Scott , dan lain-lain menemukan hasil baru jauh di dalam logika matematika dan teori himpunan aksiomatik menggunakan cabang dari aljabar Boolean, yaitu memaksa dan bernilai Boolean model.


PARABOLA, HIPERBOLA, ELIPS, LINGKARAN
Lingkaran
Lingkaran secara geometri adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak tetap terhadap sebuah titik tertentu yang disebut pusat. Jarak titik tersebut terhadap pusat disebutjari-jari lingkaran. Persamaan umumnya:
ax2 + by2 + cx + dy + e = 0
Elips
Elips adalah tempat kedudukan titik-titik yang jumlah jaraknya terhadap dua focus selalu konstan. Sebuah elips mempunyai dua sumbu simetri yang saling tegak lurus, yang panjang disebut sumbu mayor dan yang pendek disebut sumbu minor. Sumbu elips adalah sembarang titik yang terletak pada sumbu elips. Titik potong antara sumbu sebuah elips merupakan pusat elips yang bersangkutan.
Bentuk umum:
ax2 + by2 + cx + dy + e = 0
a setanda tetapi tidak sama dengan b
Parabola
Bentuk persamaan kuadrat yang paling penting dalam penerapan bisnis dan ekonomi, yakni parabola. Parabola adalah tempat kedudukan titik – titik yang berjarak sama terhadap sebuah titik fokus dan sebuah garis lurus yang disebut direktriks. Setiap parabola mempunyai sebuah sumbu simetri dan sebuah titik ekstrim. Sumbu simetri parabola dapat berupa garis yang sejajar dengan sumbu vertical y atau berupa garis yang sejajar dengan sumbu horizontal x. Titik ekstrim parabola tidaklain adalah titik potong antara sumbu simetri dan parabola yang bersangkutan.
Secara umum persamaan sebuah parabola:
ax2 + by2 + cx + dy + e = 0
dimana salah satu a atau b ( tetapi tidak keduanya )sama dengan nol.
Y = ax2 + bx +c sumbu simetri // sumbu vertical atau
X = ay2 + by +c sumbu simetri // sumbu horizontal
Dimana a ≠ 0
Untuk parabola dengan sumbu simetri // sumbu vertical atau y = ax2 + bx + c :
Parabola terbuka ke bawah → a < 0 Parabola terbuka ke atas → a >0
Parabola dengan sumbu simetri // sumbu horizontal atau x = ay2 + by + c,
Parabola terbuka ke kanan → a > 0
Parabola terbuka kekiri → a < 0
Titik ekstrim parabola (i, j): [(-b)/2a,(b^2-4ac)/(-4a)]
(-b)/2a = jarak titik ekstrim dari sumbu vertical y
(b^2-4ac)/(-4a) = jarak titim ekstrim dari sumbu horizontal x


TEORI GROUP
GRUP
Suatu grup (G, *) adalah suatu himpunan tak-kosong beserta satu operasi biner *: G * G ® G, yang memenuhi sejumlah aksioma. “a * b” menyatakan hasil penerapan operasi * terhadap pasangan terurut (a,b) unsur-unsur G. Aksioma-aksioma tersebut adalah
1. Sifat asosiatif. Untuk semua a, b dan c dalam G, (a * b) * c = a * (b * c).
2. Unsur identitas. Terdapat satu unsur e dalam G sedemikian sehingga untuk semua a dalam G, e * a = a * e = a
3. Unsur invers. Untuk semua a dalam G, terdapat suatu unsur dalam G sedemikian sehingga a * b = b * a = e, dimana e adalah unsur identitas dari aksioma sebelumnya.
Biasanya operasi dalam grup, apa pun sebetulnya operasi tersebut, dipikirkan sebagai analog dari perkalian, dan operasi grup ditulis secara perkalian. Yaitu:
Kita menulis “a • b”, atau bahkan “ab”, untuk a * b.
Kita menulis “1″ untuk unsur identitas dan menyebutnya unsur satuan.
Kita menulis “a-1″ untuk invers a dan menyebutnya kebalikan dari a.
Tetapi, kadang-kadang operasi grup dipikirkan sebagai analog dari penjumlahan dan ditulis secara jumlah:
Kita menulis “a + b untuk a * b dan menyebutnya jumlah a dan b.
Kita menulis “0″ untuk unsur identitas dan menyebutnya unsur nol.
Kita menulis “-a” untuk invers a dan menyebutnya lawan dari a.
Definisi grup :
Sistem matematika ( G, X )disebut grup jika memenuhi :
Sifat assosiatif
Untuk setiap unsur a, b, c di G berlaku ( ab ) c = a ( bc )
Unsur kesatuan
Terdapat unsur e di G yang memenuhi ae = ea = a untuk semua unsur a di G. unsur e disebut unsur kesatuan.
Balikan
Untuk setiap unsure a di G terdapat unsur a-1 di G yang memenuh aa-1 = a-1a = e. unsure a-1 disebut balikan unsur a.
Contoh grup
salah satunya adalah bilangan bulat terhadap penjumlahan. Misalkan “’Z”’ merupakan himpunan bilangan bulat, {…, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,…} dan simbol “+” sebagai operasi penjumlahan. Dengan demikian, (“’Z”’,+) merupakan suatu grup.
Bukti:
a+ b ∈ Z a, b ∈ Z
( a+ b )+ c = a + (b + c ) a, b, c ∈ Z (sifat assosiatif )
0 + a = a 0∈Z∀a∈Z ( Elemen identitas )
a∈Z, ∃b= -a ∋
a + b = b + a = 0 ( elemen invers )
Sedangkan untuk operasi ( “Z” , x ) bukan merupakan grup, karena sifat balikannya tidak terpenuhi.
Ada tiga akar sejarah teori grup : teori persamaan aljabar , teori bilangan dan geometri. Lagrange, Abel, dan Galois para peneliti awal dalam bidang teori grup.
Pada awal abad ke-19
Studi awal kelompok-kelompok seperti itu mungkin akan kembali ke pekerjaan Lagrange pada abad ke-18. However. Namun, karya ini agak terisolasi, dan 1.846 publikasi Cauchy dan Galois lebih sering disebut sebagai awal dari teori grup. Teori ini tidak berkembang dalam ruang hampa, dan sebagainya 3 benang penting dalam sejarah pra-dikembangkan di sini.
Pada akhir abad ke-19
Grup pada periode 1870-1900 digambarkan sebagai kelompok terus Lie, kelompok terputus, kelompok hingga substitusi akar (bertahap yang disebut permutasi), dan kelompok hingga substitusi linear (biasanya bidang terbatas).
Abad ke-20

AKSIOMA
Kata aksioma berasal dari Bahasa Yunani αξιωμα (axioma), yang berarti dianggap berharga atau sesuai atau dianggap terbukti dengan sendirinya. Kata ini berasal dari αξιοειν (axioein), yang berarti dianggap berharga, yang kemudian berasal dari αξιος (axios), yang berarti berharga. Di antara banyak filsuf Yunani, suatu aksioma adalah suatu pernyataan yang bisa dilihat kebenarannya tanpa perlu adanya bukti. Kata aksioma juga dimengerti dalam matematika. Akan tetapi, aksioma dalam matematika bukan berarti proposisi yang terbukti dengan sendirinya. Melainkan, suatu titik awal dari sistem logika. Misalnya, 1+1=2. Nama lain dari aksioma adalah postulat. Suatu aksioma adalah basis dari sistem logika formal yang bersama-sama dengan aturan inferensi mendefinisikan logika.
Apabila fenomena fisik yang dibuat model matematikanya adalah fenomena kontinyu (jadi mengandung unsur-unsur tak terhingga, misalnya fenomena cahaya yang merupakan bentuk tenaga dengan satuan terkecil disebut foton), model matematika yang dihasilkan adalah model pendekatan. Suatu model matematika sebagai pendekatan terhadap suatu fenomena (alami atau buatan) hanya mencakup sebanyak hingga pengamatan atau hanya mencakup daerah yang terbatas dari fenomena tersebut (yg tak terbatas) atau hanya bersifat diskrit, walaupun model tersebut masih dianggap sebagai bentuk yang sangat ideal dan yg sangat mendekati fenomena fisik aslinya.
Di masa lalu, cabang-cabang matematika yg mempelajari fenomena fisik kontinyu (gelombang, panas, elastisitas suatu material, gerak cairan, dsb) mendominasi cabang-cabang matematika yang bisa diterapkan pada berbagai fenomena fisik seperti yang biasa dipelajari dalam fisika dan kimia. Sebagai akibatnya, cabang-cabang matematika ini digolongkan dalam kelompok matematika terapan atau matematika fisika. Tetapi sejak berkembangnya ilmu-ilmu komputer, penerapan cabang-cabang matematika yg mempelajari fenomena-fenomena yang bukan sekedar diskrit, bahkan berhingga, berkembang dengan cepat. Sebagai contoh, konsep lapangan hingga (Inggris: finite fields) yang dulu dianggap sebagai cabang murni dari ilmu aljabar merupakan salah satu tulang punggung penting dalam coding theory. Demikian pula, teori ukuran (Inggris: measure theory) semakin banyak penerapannya, khususnya dalam teori fraktal dan kaitannya dengan teori chaos. Tentu saja para matematikawan masih bisa mempelajari aspek-aspek dari teori fraktal dan chaos tanpa harus mendalami teori ukuran. Untuk fenomena fisik yang berhingga, model matematikanya (misalnya model dan perumusan matematis untuk sinyal, decoder dan encoder kode Reed-Muller), yang dibuat bukan lagi model pendekatan, tetapi sudah merupakan model eksak.
Seringkali para insinyur atau engineer menganilisis suatu sistem dari suatu fenomena (alam atau buatan) dengan tujuan agar sistem tersebut terkontrol atau bisa dioptimalkan kinerjanya dengan membuat model matematikanya. Dalam analisis, para insinyur dan engineer dapat membuat model deskripsi dari sistem sebagai perkiraan (hipotesis) bagaimana sistem bisa bekerja, atau bagaimana kejadian yang akan datang bisa memengaruhi sistem. Demikian pula, dalam pengkontrolan terhadap suatu sistem, para insinyur dan engineer bisa mencoba beberapa cara mengontrol melalui simulasi. Sebuah model matematika dalam optimisasi dan kontrol biasanya menggambarkan suatu sistem sebagai kombinasi dari sekumpulan peubah (variables) dan sekumpulan persamaan yang menyatakan hubungan antara peubah-peubah tersebut. Nilai-nilai dari peubah bisa apa saja; berupa bilangan-bilangan alami (real) atau bulat, Boolean atau berupa barisan angka-angka dan karakter (strings). Peubah-peubah tersebut menyajikan beberapa sifat dari sistem, misalnya nilai luaran (output) dari hasil pengukuran, data waktu, alat hitung, banyaknya suatu kejadian muncul atau terulang, dsb. Model matematika yang sesungguhnya di sini adalah sekumpulan fungsi-fungsi yang menyatakan hubungan antara beberapa peubah-peubah yang berbeda.
Dalam matematika, Teori Model adalah ilmu yang menyajikan konsep-konsep matematis melalui konsep himpunan, atau ilmu tentang model-model yang mendukung suatu sistem matematis. Teori Model diawali dengan asumsi keberadaan obyek-obyek matematika (misalnya keberadaan semua bilangan) dan kemudian mencari dan menganilisis keberadaan operasi-operasi, relasi-relasi atau aksioma-aksioma yang melekat pada masing-masing obyek atau pada kumpulan obyek-obyek tersebut. Independensi dua hukum matematis - yang lebih dikenal dengan nama axiom of choice dan continuum hypothesis - dari aksioma-aksioma teori himpunan (dibuktikan oleh Paul Cohen dan Kurt Gödel) adalah dua hasil terkenal yang diperoleh dari Teori Model. Telah dibuktikan bahwa axiom of choice dan negasinya konsisten dengan aksioma-aksioma Zermelo-Fraenkel dalam teori himpunan dan hasil yang sama juga dipenuhi oleh continuum hypothesis. In adalah contoh penerapan metoda Teori Model pada aksioma-aksioma teori himpunan. Sebuah contoh dari teori model bisa disajikan oleh himpunan semua bilangan alami R bersama-sama himpunsn semua relasi dan/atau fungsi-fungsi, misalnya { ×, +, −, ., 0, 1 }. Pernyataan yang dilambangkan dengan
"∃y (y × y = 1 + 1)"
adalah benar untuk y € R, sebab kita bisa mendapatkan akar 2 sebagai solusinya. Tetapi pernyataan yg sama bernilai salah apabila y diharuskan bilangan rasional.
Pernyataan yang agak mirip
"∃y (y × y = 0 − 1)",
bernilai salah apabila y diharuskan bernilai real, tetapi pernyataan tersebut bernilai benar apabila y dibolehkan bernilai kompleks.
Jadi nilai benar atau salah suatu pernyataan dalam pembicaraan tentang sembarang unsur y dari suatu himpunan, tergantung pada himpunan yang memuat y tersebut. Himpunan ini disebut himpunan semesta atau semesta pembicaraan dari pernyataan tersebut.